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参与翻译: Judy (6)

介绍

你曾经疑惑过数学家在研究什么吗?为什么? 他们所做的大部分工作都是复杂和难以理解的, 但分形学的艺术可能对我们有吸引力。 数学家研究的分形学,是把自然存在的数据运用于科学与技术的许多分支学科中。 但你不需要成为一个数学家才能感受到它的美丽。 你相信你自己也可以创造出一个吗? 这次的实验中,你可以通过油漆绘制的艺术品了解到分形学的常见。

背景

分形是几何图形。 它们很难被正式定义,但它们的特殊和美丽使得它们变得更容易接触和更有趣。

第 1 段(可获 1.34 积分)

它的一个特点是自适应性, 这个特征描述了分形学在不同范围中循环的模式是如何形成的。 换句话说,当你把一个图案放大, 你会发现一个与这个图案相同但更小的图案。 当你再放大一点,你会发现一个更小的图案, 以此类推,这似乎是一个无限循环。

分形特征把一些图形与像是直线、 正方形和立方体等的传统图形区分开。当你将线段的长度加倍, 原来的线段将增长两倍,形成一维的直线。 如果你把正方形的长度加倍, 新的正方形面积会增加四倍, 形成一个更大的二维的正方形。 在立方体上做同样的事情,新的立方体体积会增加八倍, 形成三维的立方体。 将此运算应用到分形上,新的分形可能是三倍或五倍或其他不是二的倍数。 这是分形的特征。 它有一个分数维, 如8 / 5。

第 2 段(可获 2.6 积分)

最后一个惊人的事实是:一些分形可以展示无限的周长, 即使它们的面积是有限的。 这是你可以在你将要创作的艺术品中探索的东西。

材料

  • 旧报纸(保护你的工作区域)
  • 旧的CD盒
  • 手指画颜料
  • 纸巾或布
  • 版画用纸(手指画用纸会更好)
  • 放大镜(可选)

准备工作

  • 对工作区域进行保护。
  • 拆开CD盒,从而获得两个封面的盖子。
  • 将其中一个盖放在你的工作区上,平面朝上, 有边缘的面朝下。
第 3 段(可获 1.25 积分)

步骤

  • 在盖子的中心滴上一滴葡萄大小的颜料。
  • 把第二个盖子放在第一个盖子上, 平面朝下,使得颜料在两个盖子的平面之间被挤压,而有边缘的盖子朝外。 你发现了什么? 颜料扩散开了吗?它形成了什么样的几何图形?
  • 看看这个图形的周长。 它的周长与CD盖相比是较长还是较短?
  • 当你轻轻地将两个盖子压在一起然后松开时会发生什么? 形状改变了吗? 像悬崖或其他分支模式的形状吗?
  • 当你把顶盖拿来的时候,你认为会发生什么? 形状会改变吗?它会进一步扩展开吗? 你会获得两个图形,每个封面一个吗? 如果是这样,他们会是相同的吗?
  • 把视线放回工作区,小心地将顶盖拿来, 当你这样做的时候,试着不要让盖子滑动, 而是直接拿起它。
  • 看一看形成的图形。 你的预测正确吗?
  • 选择一个图形,并找到一个图案。 然后,看看你是否可以找到一个更大或更小这种图形的版本. 数学家认为图形或图案是彼此的复制品,但其中一个可以大于或小于另一个“相似”的图形或图案。
  • 把盖子平坦的一面 印在一张纸上, 你认为印出的图形与CD盒是完全一样的吗? 为什么会这样?
  • 拿起盖子,重复一遍,同样要避免盖子在纸上滑动。 你的预测正确吗?你印出的图形是更加清晰吗?
  • 分形是几何图形重复放大的几个层次。 你能在你的图形中找到更小或更大的图案吗?如果你可以,那么你就成功创建了分形!
  • 如果你有放大镜, 可以使用它来放大查看,是否可以找到相同的更小的图案。 图案越来越小是分形的一个典型特征。
  • 观察一下分形的周长。 想象在图形周围有一条细线, 围绕着细小的边缘,在它完全覆盖住图形的周长后将其切断。 然后想象把这根细线抽出。 它与CD盖的周长相比是更长还是更短? 现在想象一下分形将分支成越来越小的细节。 分形的周长会发生什么变化? 它的面积增长快吗?这个分形是否仍然适合CD盖,还是需要更大的平面?
  • 制作出更多的印画. 当你完成印制、清洗盖子,然后滴入新的颜料重复过程。 你制作的新图案和第一个图案相比 有什么不同呢? 尝试运用不同的颜色并探索制作出更美丽的分形。
  • 这些印画让你想到了什么? 它们是你了解的东西吗?
  • 额外步骤: 仔细观察花椰菜的顶部。 如果你在商店里找不到, 可以在网上查找一些图片。 你能看到同样的图形出现了不同的大小吗?
  • 额外步骤: 看看你周围。 你能在大自然中找到分形吗? 看看树、树叶、蕨类、甚至云。 它们也是分形吗? 为什么?
  • 额外步骤: 一些分形的图形的内部含有无穷多个更小的相似图形。 点击“更多探索”部分的链接可以了解到Sierpinski三角。 放大视频观看。 你看到这种模式是如何在小规模内无限重复的吗?你能画出一个Sierpinski三角形? 你能自己组成这种类型的分形吗?
  • 额外步骤: 在网上查找一些计算机生成的分形和存在于自然界中的分形的图案。 你觉得有什么特别令人印象深刻的吗?
第 4 段(可获 8.75 积分)

观测结果

你发现了在不同范围内的重复模式吗? 你看到分支图案出现了吗?

颜料会相互粘合。 当你第一次挤压颜料然后松开时,颜料内部和颜料与塑料盖之间相互作用了产生令人印象深刻的分形, 在光面纸上印制可以重复该过程并创建出显示更精细分支的图案。

虽然图形的面积变化不大, 但随着增加越来越多的分支,周长会增长得很快。

第 5 段(可获 1.2 积分)

分形在自然界中普遍存在。树、 树叶、蕨类、贝壳、闪电和云只是其中的一些例子。 分形不仅在我们身边也在我们体内:我们的肺和血管也有明显的分形特征。 分形数学可以帮助我们描述和量化这些结构。 工程师还使用分形来创造新的产品,比如手机天线。 分形艺术是一种数字艺术,艺术家使用计算机生成的图像来创建复杂的对象。

清理工作

用肥皂水清洗所有设备。

第 6 段(可获 1.05 积分)

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